Matematikens orimliga effektivitet

Richard W. Hamming

Först publicerad i: The American Mathematical Monthly Volym 87 nummer 2 februari 1980

Prolog. Det framgår av titeln att detta är en filosofisk diskussion. Jag ska inte be om ursäkt för filosofin, även om jag är väl medveten om att de flesta vetenskapsmän, ingenjörer och matematiker har liten hänsyn till den; I stället ska jag ge denna korta prolog för att motivera tillvägagångssättet.

Richard W. Hamming

Människan har, så vitt vi vet, alltid undrat över sig själv, världen omkring henne och vad livet handlar om. Vi har många myter från det förflutna som berättar hur och varför Gud, eller gudarna, skapade människan och universum. Dessa skall jag kalla teologiska förklaringar. De har ett huvudsakligt kännetecken gemensamt – det finns ingen mening med att fråga varför saker och ting är som de är, eftersom vi främst får en beskrivning av skapelsen som gudarna valde att göra den.

Filosofin började när människan började undra över världen utanför denna teologiska ram. Ett tidigt exempel är filosofernas beskrivning att världen är gjord av jord, eld, vatten och luft. Utan tvekan fick de höra på den tiden att gudarna gjorde saker på det sättet och att de skulle sluta oroa sig för det.

Från dessa tidiga försök att förklara saker och ting kom långsamt såväl filosofin som vår nuvarande vetenskap. Inte så att vetenskapen förklarar ”varför” saker är som de är – gravitationen förklarar inte varför saker faller – men vetenskapen ger så många detaljer om ”hur” att vi har en känsla av att vi förstår ”varför”. Låt oss vara tydliga på denna punkt; det är vid havet av sammanhängande detaljer som vetenskapen verkar säga ”varför” universum är som det är.

Vårt främsta verktyg för att genomföra de långa kedjor av snäva resonemang som vetenskapen kräver är matematik. Faktum är att matematik kan definieras som det mentala verktyget utformat för detta ändamål.

Många människor genom tiderna har ställt frågan som jag faktiskt ställer i rubriken;

”Varför är matematik så orimligt effektivt?”

När vi frågar detta tittar vi bara mer på den logiska sidan och mindre på den materiella sidan av vad universum är och hur det fungerar.

Matematiker som arbetar i matematikens grunder är huvudsakligen angelägna om systemets självständighet och begränsningar. De verkar inte bry sig om varför världen uppenbarligen erkänner en logisk förklaring. På sätt och vis befinner jag mig i de tidiga grekiska filosofernas position som undrade över den materiella sidan, och mina svar på den logiska sidan är förmodligen inte mycket bättre än deras var på sin tid. Men vi måste börja någonstans och någon gång med att förklara fenomenet att världen tycks vara organiserad i ett logiskt mönster som liknar mycket av matematiken, att matematik är vetenskapens och ingenjörens språk.

När jag väl hade organiserat huvuddraget fick jag fundera över hur jag bäst skulle kommunicera mina idéer och åsikter till andra. Erfarenheten visar att jag inte alltid är framgångsrik i den här frågan. Till slut kom det mig att följande preliminära kommentarer skulle hjälpa.

I vissa avseenden är denna diskussion mycket teoretisk. Jag måste nämna, åtminstone något, olika teorier om den allmänna aktiviteten som kallas matematik, samt beröra utvalda delar av den. Dessutom finns det olika teorier om tillämpningar. Detta leder alltså till viss del till en teori om teorier. Det som kan förvåna dig är att jag ska ta experimentalismens tillvägagångssätt när jag diskuterar saker.

Strunt i vad teorierna är tänkta att vara, eller vad du tycker att de borde vara, eller ens vad experterna på området hävdar att de är; låt oss ta den vetenskapliga inställningen och titta på vad de är. Jag är väl medveten om att mycket av det jag säger, särskilt om matematikens natur, kommer att irritera många matematiker. Mitt experimentella tillvägagångssätt är ganska främmande för deras mentalitet och förutfattade meningar. Så är det!

Inspirationen till denna artikel kom från artikeln med liknande titel, ”The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” [1. E. P. Wigner, (Matematikens orimliga effektivitet i naturvetenskaperna). Det kommer att märkas att jag har utelämnat en del av titeln, och av de som redan har läst den att jag inte kopierar mycket av hans material (jag känner inte att jag kan förbättra hans presentation).

Å andra sidan kommer jag att ägna relativt mer tid åt att försöka förklara den underförstådda frågan om titeln. Men när alla mina förklaringar är över är återstoden fortfarande så stor att frågan i princip lämnas obesvarad.

Matematikens effektivitet. I sin artikel ger Wigner ett stort antal exempel på effektiviteten av matematik inom de fysiska vetenskaperna. Låt mig därför ta del av mina egna erfarenheter som ligger närmare ingenjörskonst. Min första riktiga erfarenhet av att använda matematik för att förutsäga saker i den verkliga världen var i samband med utformningen av atombomber under andra världskriget.

Hur kom det sig att siffrorna vi så tålmodigt beräknade på de primitiva relädatorerna stämde så väl överens med vad som hände vid det första bomtestet på Almagordo? Det fanns, och kunde inte finnas, några småskaliga experiment för att kontrollera beräkningarna direkt. Senare erfarenheter av styrda missiler visade mig att detta inte var ett isolerat fenomen – ständigt förverkligas det vi förutspår från manipulation av matematiska symboler i den verkliga världen.

När jag arbetade som jag gjorde för Bell System, gjorde jag naturligtvis många telefonberäkningar och annat matematiskt arbete med så olika saker som vandringsvågrör, utjämning av tv-linjer, stabiliteten hos komplexa kommunikationssystem, blockering av samtal via en telefoncentrals kontor, för att bara nämna några. För glamour kan jag nämna transistorforskning, rymdflygning och datordesign, men nästan all vetenskap och ingenjörsvetenskap har använt omfattande matematiska manipulationer med anmärkningsvärda framgångar.

Många av er känner till historien om Maxwells ekvationer, hur han i viss mån av symmetriskäl lade in en viss term, och med tiden de radiovågor som teorin förutspådde hittades av Hertz. Många andra exempel på att framgångsrikt förutsäga okända fysiska effekter från en matematisk formulering är välkända och behöver inte upprepas här.

Invariansens grundläggande roll betonas av Wigner. Det är grundläggande för mycket av matematiken såväl som för naturvetenskap. Det var bristen på invarians i Newtons ekvationer (behovet av en absolut referensram för hastigheter) som drev Lorentz, Fitzgerald, Poincare och Einstein till den speciella relativitetsteorin.

Wigner observerar också att samma matematiska begrepp dyker upp i helt oväntade sammanhang. Till exempel visar sig de trigonometriska funktionerna som förekommer i Ptolemaios astronomi vara de funktioner som är invarianta med avseende på translation (tidsinvarians). De är också lämpliga funktioner för linjära system. Den enorma användbarheten av samma matematikbitar i vitt skilda situationer har ingen rationell förklaring (ännu).

Dessutom har enkelheten i matematik länge ansetts vara nyckeln till tillämpningar inom fysik. Einstein är den mest kända exponenten för denna tro. Men även i själva matematiken är enkelheten anmärkningsvärd, åtminstone för mig; de enklaste algebraiska ekvationerna, linjära och kvadratiska, motsvarar de enklaste geometriska enheterna, räta linjer, cirklar och käglor. Detta gör analytisk geometri möjlig på ett praktiskt sätt. Hur kan det komma sig att enkel matematik, trots allt är en produkt av det mänskliga sinnet, kan vara så anmärkningsvärt användbar i så många vitt skilda situationer?

På grund av dessa framgångar inom matematiken finns det för närvarande en stark trend mot att göra var och en av vetenskaperna matematiska. Det brukar ses som ett mål som ska uppnås, om inte idag, så imorgon. För denna publik kommer jag att hålla mig till fysik och astronomi för ytterligare exempel.

Pythagoras är den första man som registrerades som tydligt sa att;

”Matematik är sättet att förstå universum.”

Han sa det både högt och tydligt;

”Antalet är mått på allt.”

Kepler är ett annat känt exempel på denna attityd. Han trodde passionerat att Guds handverk endast kunde förstås genom matematik. Efter tjugo år av tråkiga beräkningar fann han sina berömda tre lagar för planetrörelser – tre jämförelsevis enkla matematiska uttryck som beskrev planeternas till synes komplexa rörelser.

Det var Galileo som sa;

”Naturlagarna är skrivna på matematikens språk.”

Newton använde resultaten av både Kepler och Galileo för att härleda de berömda Newtonska rörelselagarna, som tillsammans med gravitationslagen är det kanske mest kända exemplet på matematikens orimliga effektivitet inom naturvetenskapen. De förutspådde inte bara var de kända planeterna skulle vara utan förutspådde framgångsrikt positionerna för okända planeter, rörelser av avlägsna stjärnor, tidvatten och så vidare.

Vetenskapen är sammansatt av lagar som ursprungligen var baserade på en liten, noggrant utvald uppsättning observationer, ofta inte särskilt noggrant uppmätta ursprungligen; men lagarna har senare visat sig gälla över mycket bredare observationer och mycket mer exakt än vad de ursprungliga uppgifterna motiverade. Inte alltid, för att vara säker, men ofta tillräckligt för att kräva förklaring.

Under mina trettio år av att praktisera matematik inom industrin, oroade jag mig ofta för de förutsägelser jag gjorde. Från matematiken som jag gjorde på mitt kontor förutspådde jag med tillförsikt (åtminstone för andra) några framtida händelser – om du gör det och så kommer du att se sådant och sådant – och det visade sig oftast att jag hade rätt.

Hur kunde fenomenen veta vad jag hade förutspått (baserat på mänskligt skapad matematik) så att det kunde stödja mina förutsägelser? Det är löjligt att tro att det är så det går till. Nej, det är så att matematiken på något sätt ger en pålitlig modell för mycket av vad som händer i universum. Och eftersom jag bara kan göra jämförelsevis enkel matematik, hur kan det komma sig att enkel matematik räcker för att förutsäga så mycket?

Jag skulle kunna fortsätta att citera fler exempel som illustrerar matematikens orimliga effektivitet, men det skulle bara vara tråkigt. Jag misstänker faktiskt att många av er känner till exempel som jag inte vet. Låt mig därför anta att du ger mig en mycket lång lista av framgångar, många av dem lika spektakulära som förutsägelsen om en ny planet, om ett nytt fysiskt fenomen, om en ny artefakt. Med begränsad tid vill jag ägna det åt att försöka göra det jag tror att Wigner undvek – att ge åtminstone några partiella svar på den underförstådda frågan om titeln.

Vad är matematik?

Efter att ha tittat på effektiviteten av matematik måste vi titta på frågan ”Vad är matematik?” Detta är titeln på en berömd bok av Courant och Robbins [2. R. Courant och H. Robbins, What Is Mathematics? Oxford University Press, 1941.]. I den försöker de inte ge en formell definition, utan de nöjer sig med att visa vad matematik är genom att ge många exempel. På samma sätt ska jag inte ge en heltäckande definition. Men jag kommer närmare än de gjorde att diskutera vissa framträdande drag i matematik som jag ser dem.

Det kanske bästa sättet att närma sig frågan om vad matematik är är att börja från början. I det långt avlägsna förhistoriska förflutna, där vi måste leta efter matematikens början, fanns det redan fyra stora delar inom matematiken. För det första fanns det förmågan att föra vidare de långa kedjor av nära resonemang som än i dag kännetecknar mycket av matematiken.

För det andra fanns det geometri, som ledde genom konceptet kontinuitet till topologi och bortom.

För det tredje fanns det tal, vilket ledde till aritmetik, algebra och vidare. Äntligen kom den konstnärliga smaken, som spelar så stor roll i modern matematik. Det finns naturligtvis många olika sorters skönhet i matematik. I talteorin verkar det främst vara skönheten i den nästan oändliga detaljen; i abstrakt algebra ligger skönheten främst i det allmänna. Olika områden inom matematiken har alltså olika standarder för estetik.

Matematikens tidigaste historia måste naturligtvis bestå av spekulationer, eftersom det nu inte finns några faktiska, övertygande bevis. Det verkar dock som om det i själva grunden för det primitiva livet fanns inbyggd, i överlevnadssyfte om inte för något annat, en förståelse för orsak och verkan.

När väl denna egenskap har byggts upp bortom en enda observation till en sekvens av;

”Om detta, då det, och sedan följer det ännu längre att…”,

…är vi på vägen mot det första särdraget i matematiken jag nämnde, långa kedjor av nära resonemang. Men det är svårt för mig att se hur enkel darwinistisk överlevnad av de starkaste skulle välja för förmågan att klara de långa kedjor som matematik och vetenskap verkar kräva.

Geometri tycks ha uppstått från problemen med att dekorera människokroppen för olika ändamål, såsom religiösa riter, sociala angelägenheter och attrahera det motsatta könet, samt från problemen med att dekorera ytorna på väggar, krukor, redskap och kläder.

Detta innebär också den fjärde aspekten jag nämnde, estetisk smak, och detta är en av matematikens djupa grundvalar. De flesta läroböcker upprepar grekerna och säger att geometrin uppstod ur egyptiernas behov att undersöka landet efter varje översvämning av Nilen, men jag tillskriver estetik mycket mer än de flesta matematikhistoriker och motsvarande mindre till omedelbar nytta.

Den tredje aspekten av matematik, siffror, uppstod från räkning.

Så grundläggande är siffror att en berömd matematiker en gång sa;

”Gud skapade heltalen, människan gjorde resten”
[3. L. Kronecker, punkt 1634. i Om matematik och matematiker, av R E Moritz.].

Heltalen verkar för oss vara så grundläggande att vi förväntar oss att hitta dem varhelst vi hittar intelligent liv i universum. Jag har försökt, med liten framgång, att få några av mina vänner att förstå min förvåning över att abstraktionen av heltal för räkning är både möjlig och användbar.

Är det inte anmärkningsvärt att 6 får plus 7 får blir 13 får; att 6 stenar plus 7 stenar blir 13 stenar? Är det inte ett mirakel att universum är så konstruerat att en så enkel abstraktion som ett tal är möjlig? För mig är detta ett av de starkaste exemplen på matematikens orimliga effektivitet. Jag tycker faktiskt att det är både konstigt och oförklarligt.

I utvecklingen av siffror kommer vi sedan till det faktum att dessa räknetal, heltal, användes framgångsrikt för att mäta hur många gånger en standardlängd kan användas för att uttömma den önskade längden som mäts. Men det måste ha hänt snabbt, jämförelsevis sett, att ett helt antal enheter inte exakt passade den längd som mättes, och mätarna drevs till bråken – den extra biten som blev över användes för att mäta standardlängden.

Bråk är inte räknande tal; de mäter siffror. På grund av deras vanliga användning vid mätning befanns bråken, genom en lämplig utvidgning av idéer, snart följa samma regler för manipulationer som heltalen gjorde, med den extra fördelen att de gjorde division möjlig i alla fall (jag har inte ännu kommit till siffran noll). En viss bekantskap med bråken avslöjar snart att mellan två bråkdelar kan du lägga så många fler du vill och att de i någon mening är homogent täta överallt. Men när vi utökar begreppet tal till att omfatta bråken, måste vi ge upp idén om nästa tal.

Detta för oss åter till Pythagoras, som sägs vara den första mannen som bevisade att diagonalen på en kvadrat och sidan av kvadraten inte har något gemensamt mått – att de är irrationellt relaterade. Denna observation skapade tydligen en djupgående omvälvning i grekisk: matematik. Fram till den tiden blomstrade det diskreta talsystemet och den kontinuerliga geometrin sida vid sida med liten konflikt.

Krisen av inkommensurabilitet löste den euklidiska inställningen till matematik. Det är ett märkligt faktum att de tidiga grekerna försökte göra matematiken rigorös genom att ersätta talens osäkerheter med vad de ansåg var den mer säkra geometrin (på grund av Eudoxus). Det var en stor händelse för Euclid, och som ett resultat hittar du i ”The Elements” [4. Euclid, Euclid’s Elements, T. E. Heath, Dover Publications, New York, 1956.] mycket av det vi nu betraktar som talteori och algebra i form av geometri.

I motsats till de tidiga grekerna, som tvivlade på existensen av det reella talsystemet, har vi beslutat att det ska finnas ett tal som mäter längden på diagonalen av en enhetskvadrat (även om vi inte behöver göra det), och det är mer eller mindre hur vi utökade det rationella talsystemet till att omfatta de algebraiska talen. Det var den enkla viljan att mäta längder som gjorde det. Hur kan någon förneka att det finns ett tal för att mäta längden på ett rakt linjesegment?

De algebraiska talen, som är rötter till polynom med heltal, bråktal och, som senare bevisades, även algebraiska tal som koefficienter, var snart under kontroll genom att helt enkelt utöka samma operationer som användes på det enklare talsystemet.

Men mätningen av en cirkels omkrets med avseende på dess diameter tvingade oss snart att överväga förhållandet som kallas pi. Detta är inte ett algebraiskt tal, eftersom ingen linjär kombination av styrkan av pi med heltalskoefficienter kommer att försvinna exakt. En längd, varvid omkretsen är en krökt linje, och den andra längden, diametern, som är en rät linje, gör förhållandet mindre säkert än förhållandet mellan en kvadrats diagonal och dess sida; men eftersom det verkar som att det borde finnas ett sådant nummer, kom de transcendentala talen gradvis in i talsystemet.

Genom en ytterligare lämplig förlängning av de tidigare idéerna om siffror, släpptes de transcendentala talen konsekvent in i talsystemet, även om få elever alls känner sig bekväma med den tekniska apparatur vi konventionellt använder för att visa överensstämmelsen.

Ytterligare mixtrande med siffersystemet gav både siffran noll och de negativa talen. Den här gången krävde förlängningen att vi övergav divisionen för det enda talet noll. Detta tycks avrunda det verkliga talsystemet för oss (så länge vi begränsar oss till processen att ta gränser för siffersekvenser och inte tillåta ytterligare operationer) – inte för att vi i dag har en fast, logisk, enkel, grund för dem; men de säger att förtrogenhet föder förakt, och vi är alla mer eller mindre bekanta med det verkliga talsystemet.

Väldigt få av oss i våra sundare stunder tror att de särskilda postulaten som vissa logiker har drömt om skapar siffrorna – nej, de flesta av oss tror att de verkliga siffrorna helt enkelt finns där och att det har varit ett intressant, underhållande och viktigt spel att försök att hitta en bra uppsättning postulat för att redogöra för dem.

Men låt oss inte förvirra oss själva – Zenos paradoxer är fortfarande, även efter 2 000 år, för färska i minnet för att lura oss själva att vi förstår allt vi önskar att vi gjorde om förhållandet mellan det diskreta talsystemet och den kontinuerliga linjen vi vill modellera. Vi vet, från icke-standardiserade analyser, om inte från andra platser, att logiker kan göra postulat som sätter ytterligare entiteter på den verkliga linjen, men hittills har få av oss velat gå in på den vägen. Det är bara rättvist att nämna att det finns vissa matematiker som tvivlar på existensen av det konventionella reella talsystemet. Några datorteoretiker medger att det bara finns ”de beräkningsbara siffrorna”.

Nästa steg i diskussionen är det komplexa talsystemet. När jag läste historien var det Cardan som var den första som förstod dem i någon egentlig mening. I hans ”The Great Art or Rules of Algebra” [5. G. Cardano, The Great Art or Rules of Algebra, transl. av TR Witmer, MIT Press, 1968, s. 219-220] säger han, ”Om man lägger undan de inblandade mentala tortyrerna multiplicera (5 + sqrt 15) genom att (5 – sqrt -15) göra 25-(-15) …

Så han insåg tydligt att samma formella operationer på symbolerna för komplexa tal skulle ge meningsfulla resultat. På detta sätt utvidgades det reella talsystemet gradvis till det komplexa talsystemet, förutom att den här gången krävde förlängningen att man gav upp egenskapen att ordna talen – de komplexa talen kan inte ordnas i vanlig mening.

Cauchy leddes tydligen till teorin om komplexa variabler av problemet med att integrera reella funktioner längs den reella linjen. Han fann att genom att böja integrationens väg in i det komplexa planet kunde han lösa verkliga integrationsproblem.

För några år sedan hade jag nöjet att undervisa i en kurs i komplexa variabler. Som alltid händer när jag blir engagerad i ämnet, kom jag igen med känslan av att ”Gud skapade universum av komplexa tal.” Det är klart att de spelar en central roll inom kvantmekaniken. De är ett naturligt verktyg inom många andra användningsområden, såsom elektriska kretsar, fält och så vidare.

För att sammanfatta, från enkel räkning med hjälp av de gudgivna heltalen, gjorde vi olika förlängningar av idéerna om siffror för att inkludera fler saker. Ibland gjordes utbyggnaderna av vad som var estetiska skäl, och ofta gav vi upp någon egenskap hos det tidigare talsystemet. Därmed kom vi fram till ett talsystem som är orimligt effektivt även i själva matematiken; bevittna hur vi har löst många talteoretiska problem i det ursprungliga mycket diskreta räknesystemet genom att använda en komplex variabel.

Av det ovanstående ser vi att en av matematikens huvudlinjer är utvidgningen, generaliseringen, abstraktionen – de är alla mer eller mindre samma sak – av välkända begrepp till nya situationer. Men notera att själva definitionerna under själva processen ändras subtilt. Därför, vad som inte är så allmänt erkänt, gamla bevis på teorem kan bli falska bevis. De gamla bevisen täcker inte längre de nydefinierade sakerna. Miraklet är att nästan alltid satserna fortfarande är sanna; det är bara en fråga om att fixa bevisen.

Det klassiska exemplet på denna fixering är Euclids ”The Elements” [4]. Vi har funnit det nödvändigt att lägga till en hel del nya postulat (eller axiom, om du så vill, eftersom vi inte längre bryr oss om att skilja mellan dem) för att uppfylla nuvarande bevisstandarder. Men hur kommer det sig att ingen teorem i alla tretton böcker nu är falsk? Inte en sats har visat sig vara falsk, även om bevisen från Euklids ofta verkar vara falska.

Och detta fenomen är inte begränsat till det förflutna. Det påstås att en före detta redaktör för Mathematical Reviews en gång sa att över hälften av de nya satserna som publiceras i dag är i huvudsak sanna även om de publicerade bevisen är falska. Hur kan detta vara om matematik är en rigorös härledning av satser från antagna postulat och tidigare resultat? Jo, det är uppenbart för alla som inte är förblindade av auktoriteter att matematik inte är vad grundlärarna sa att det var. Det är helt klart något annat.

Vad är detta ”annat”? När du väl börjar leta upptäcker du att om du var begränsad till axiomen och postulaten så kunde du härleda väldigt lite. Det första stora steget är att introducera nya begrepp som härrör från antagandena, begrepp som trianglar. Sökandet efter korrekta begrepp och definitioner är en av huvuddragen i att göra bra matematik.

Medan vi är på ämnet bevis börjar klassisk geometri med teoremet och försöker hitta ett bevis. Tydligen var det först på 1850-talet eller så som man tydligt insåg att det motsatta tillvägagångssättet också är giltigt (det måste ha använts då och då innan dess). Ofta är det beviset som genererar satsen. Vi ser vad vi kan bevisa och undersöker sedan bevisen för att se vad vi har bevisat! Dessa kallas ofta ”bevisgenererade teorem” [6. Imre Lakatos, Proofs and Refutations; Cambridge University Press, 1976, sid. 33.]. Ett klassiskt exempel är begreppet enhetlig konvergens.

Cauchy hade bevisat att en konvergent serie termer, som var och en är kontinuerlig, konvergerar till en kontinuerlig funktion. Samtidigt var det känt att det fanns Fourierserier av kontinuerliga funktioner som konvergerade till en diskontinuerlig gräns. Genom en noggrann undersökning av Cauchys bevis hittades felet och fixades genom att ändra satsens hypotes till att lyda ”en enhetligt konvergent serie”.

På senare tid har vi haft en intensiv studie av det som kallas matematikens grunder – som enligt min mening bör betraktas som matematikens främsta stridspunkter och inte grunderna. Det är ett intressant område, men matematikens huvudsakliga resultat är ogenomträngliga för vad som finns där – vi kommer helt enkelt inte att överge mycket av matematiken oavsett hur ologiskt det görs att framstå av forskning i stiftelserna.

Jag hoppas att jag har visat att matematik inte är vad det ofta antas vara, att matematik ständigt förändras och att även om jag skulle lyckas definiera den idag skulle definitionen inte vara lämplig imorgon. På samma sätt som tanken på rigor – vi har en föränderlig standard. Den dominerande inställningen inom vetenskapen är att vi inte är universums centrum, att vi inte är unikt placerade etc., och på samma sätt är det svårt för mig att tro att vi nu har nått den yttersta rigoriteten. Så vi kan inte vara säkra på de nuvarande bevisen för våra satser.

Det verkar faktiskt för mig;

Matematikens postulat fanns inte på stentavlorna som Moses tog ner från berget Sinai.

Det är nödvändigt att betona detta. Vi börjar med ett vagt koncept i våra sinnen, sedan skapar vi olika uppsättningar av postulat, och gradvis slår vi oss ner vid en viss uppsättning. I den rigorösa postulationsstrategin ersätts nu det ursprungliga konceptet med vad postulaten definierar. Detta gör vidare utveckling av konceptet ganska svårt och tenderar som ett resultat att bromsa utvecklingen av matematik. Det är inte så att postuleringsmetoden är felaktig, bara att dess godtycke tydligt bör erkännas, och vi bör vara beredda att ändra postulat när behovet blir uppenbart.

Matematik har skapats av människan och är därför benägen att ändras ganska kontinuerligt av henne. Kanske var de ursprungliga källorna till matematik påtvingade oss, men som i exemplet jag har använt ser vi att i utvecklingen av ett så enkelt begrepp som en siffra har vi gjort val för de tillägg som endast delvis styrdes av nödvändighet och ofta, det förefaller mig, mer av estetik. Vi har försökt att göra matematik till en konsekvent, vacker sak, och genom att göra det har vi fått ett fantastiskt antal framgångsrika applikationer till den verkliga världen.

Tanken att satser följer av postulaten motsvarar inte enkel observation. Om Pythagoras sats visade sig inte följas av postulaten, skulle vi återigen söka efter ett sätt att ändra postulaten tills det var sant. Euklids postulat kom från Pythagoras sats, inte tvärtom. I över trettio år har jag gjort anmärkningen att om du kom in på mitt kontor och visade mig ett bevis på att Cauchys sats var falsk skulle jag vara mycket intresserad, men jag tror att vi i slutändan skulle ändra antagandena tills satsen var sann. Det finns alltså många resultat i matematiken som är oberoende av antagandena och bevisen.

Hur bestämmer vi i en ”kris” vilka delar av matematiken vi ska behålla och vilka delar vi ska överge? Användbarhet är ett huvudkriterium, men ofta är det användbarhet för att skapa mer matematik snarare än i tillämpningar till den verkliga världen! Så mycket för min diskussion om matematik.

Några delförklaringar. Jag kommer att ordna mina förklaringar av matematikens orimliga effektivitet under fyra rubriker.

Vi ser vad vi letar efter. Ingen blir förvånad om världen ser blåaktig ut efter att ha tagit på sig blåtonade glasögon. Jag föreslår att visa några exempel på hur mycket detta är sant inom nuvarande vetenskap. För att göra detta kommer jag återigen att bryta mot många utbredda, passionerat hållna övertygelser. Men hör på mig.

Jag valde exemplet med vetenskapsmän i den tidigare delen av en god anledning. Pythagoras är enligt min mening den första store fysikern. Det var han som fann att vi lever i det som matematikerna kallar L2 – summan av kvadraterna på de två sidorna i en rätvinklig triangel ger kvadraten på hypotenusan. Som jag sa tidigare, detta är inte ett resultat av geometrins postulat – det här är ett av resultaten som formade postulaten.

Låt oss sedan överväga Galileo. För inte så länge sedan försökte jag sätta mig i Galileos skor, så att säga, så att jag kunde känna hur han kom att upptäcka lagen om fallande kroppar. Jag försöker göra sånt här så att jag kan lära mig att tänka som mästarna gjorde – jag försöker medvetet tänka som de kanske har gjort.

Tja, Galileo var en välutbildad man och en mästare på skolastiska argument. Han visste väl hur man argumenterar för antalet änglar på huvudet av en nål, hur man argumenterar på båda sidor av alla frågor. Han utbildades i dessa konster mycket bättre än någon av oss nuförtiden. Jag föreställer mig honom sitta en dag med en lätt och en tung boll, en i varje hand, och kasta med dem försiktigt.

Han säger och lyfter dem;

”Det är uppenbart för alla att tunga föremål faller snabbare än lätta – och i alla fall säger Aristoteles det.”

”Men anta,”

…säger han till sig själv med ett sådant sinne;

”att kroppen bröts i två delar när den föll. Naturligtvis skulle de två delarna omedelbart sakta ner till sin lämpliga hastighet. Men anta vidare att en av delarna rörde vid den andra. Skulle de nu vara i ett stycke och båda öka farten? Anta att jag knöt ihop de två delarna. Hur hårt måste jag göra det för att göra dem till ett stycke? Ett lätt snöre? Ett rep? Limma? När är de två delarna en. ?”

Ju mer han tänkte på det – och ju mer du tänker på det – desto mer orimlig blir frågan om när två kroppar är en. Det finns helt enkelt inget rimligt svar på frågan om hur en kropp vet hur tung den är – om den är en del, eller två, eller många. Eftersom fallande kroppar gör något är det enda möjliga att de alla faller med samma hastighet – om de inte störs av andra krafter. Det finns inget annat de kan göra.

Han kan ha gjort några experiment senare, men jag misstänker starkt att något liknande det jag föreställde mig faktiskt hände. Jag hittade senare en liknande historia i en bok av Polya [7. G. Polya, Mathematical Methods in Science, MAA, 1963, s. 83-85.]. Galileo fann sin lag inte genom att experimentera utan genom enkelt, enkelt tänkande, genom skolastiska resonemang.

Jag vet att läroböckerna ofta presenterar den fallande kroppslagen som en experimentell observation; Jag hävdar att det är en logisk lag, en konsekvens av hur vi tenderar att tänka.

Newton, som du läser i böcker, härledde den omvända kvadratlagen från Keplers lagar, även om de ofta framställer det åt andra hållet; från den omvända kvadratlagen härleder läroböckerna Keplers lagar. Men om du tror på något liknande bevarande av energi och tror att vi lever i ett tredimensionellt euklidiskt utrymme, hur skulle annars ett symmetriskt centralkraftfält kunna falla av? Mätningar av exponenten genom att göra experiment är till stor del försök att ta reda på om vi lever i ett euklidiskt rum, och inte alls ett test av den omvända kvadratlagen.

Men om du inte gillar dessa två exempel, låt mig vända mig till den senaste tidens mest omtalade lag, osäkerhetsprincipen. Det hände att jag nyligen blev involverad i att skriva en bok om digitala filter [8. R. W. Hamming, Digital Filters, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1977.] när jag visste väldigt lite om ämnet.

Som ett resultat av detta ställde jag tidigt frågan;

”Varför skulle jag göra all analys i termer av Fourier-integraler? Varför är det de naturliga verktyget för problemet?”

Jag fick snart reda på, som många av er redan vet, att översättningens egenfunktioner är de komplexa exponentialerna. Om du vill ha tidsinvarians, och säkert vill fysiker och ingenjörer det (så att ett experiment som görs idag eller imorgon ger samma resultat), så leds du till dessa funktioner. På liknande sätt, om du tror på linjäritet är de återigen egenfunktionerna.

Inom kvantmekaniken är kvanttillstånden absolut additiv; de är inte bara en bekväm linjär approximation. De trigonometriska funktionerna är alltså de egenfunktioner man behöver i både digital filterteori och kvantmekanik, för att bara nämna två platser.

När du nu använder dessa egenfunktioner leds du naturligt till att representera olika funktioner, först som ett räknat antal och sedan som ett icke-räknat antal av dem, nämligen Fourierserien och Fourierintegralen. Tja, det är ett teorem i teorin om Fourier-integraler att variabiliteten för funktionen multiplicerad med variabiliteten av dess transform överstiger en fast konstant, i en notation l/2pi.

Detta säger mig att i vilket linjärt, tidsinvariant system som helst måste du hitta en osäkerhetsprincip. Storleken på Plancks konstant är en fråga om detaljerad identifiering av variablerna med integraler, men olikheten måste uppstå.

Som ett annat exempel på vad som ofta har ansetts vara en fysisk upptäckt men som visar sig ha lagts in där av oss själva, vänder jag mig till det välkända faktumet att fördelningen av fysiska konstanter inte är enhetlig; snarare är sannolikheten för att en slumpmässig fysisk konstant har en inledande siffra på 1, 2 eller 3 ungefär 60%, och naturligtvis förekommer de inledande siffrorna 5, 6, 7, 8 och 9 totalt endast cirka 40% av tiden.

Denna fördelning gäller många typer av tal, inklusive fördelningen av koefficienterna för en potensserie som endast har en singularitet på konvergenscirkeln. En närmare granskning av detta fenomen visar att det främst är en artefakt av hur vi använder siffror.

Efter att ha gett fyra vitt skilda exempel på icke-triviala situationer där det visar sig att det ursprungliga fenomenet uppstår från de matematiska verktyg vi använder och inte från den verkliga världen, är jag redo att starkt föreslå att mycket av det vi ser kommer från glasögonen vi sätter på. Detta går naturligtvis emot mycket av det du har lärt dig, men överväg argumenten noggrant. Man kan säga att det var experimentet som tvingade på oss modellen, men jag föreslår att ju mer du tänker på de fyra exemplen desto mer obekväm är du benägen att bli. De är inte godtyckliga teorier som jag har valt, utan sådana som är centrala för fysiken,

Under de senaste åren var det Einstein som mest högljutt förkunnade enkelheten i fysikens lagar, som använde matematiken så uteslutande att den populärt blev känd som matematiken. När han undersökte hans speciella relativitetsteori [9. G. Holton Thematic Origins of Scientific Thought, Kepler to Einstein, Harvard University Press, 1973.] man har känslan av att man har att göra med en skolastisk filosofs synsätt.

Han visste på förhand hur teorin skulle se ut och han utforskade teorierna med matematiska verktyg, inte faktiska experiment. Han var så säker på att relativitetsteorierna var riktiga att han, när experiment gjordes för att kontrollera dem, inte var särskilt intresserad av resultaten, och sa att de måste komma ut på det sättet annars var experimenten fel. Och många tror att de två relativitetsteorierna mer vilar på filosofiska grunder än på faktiska experiment.

Så mitt första svar på den underförstådda frågan om matematikens orimliga effektivitet är att vi närmar oss situationerna med en intellektuell apparat så att vi bara kan hitta det vi gör i många fall. Det är både så enkelt och så hemskt. Det vi fick lära oss om att grunden för vetenskap är experiment i den verkliga världen är bara delvis sant. Eddington gick längre än så här; han hävdade att ett tillräckligt klokt sinne kunde härleda all fysik. Jag antyder bara att en överraskande mängd kan härledas. Eddington gav en härlig liknelse för att illustrera detta.

Han sa;

”Några män gick och fiskade i havet med ett nät, och när de undersökte vad de fångat drog de slutsatsen att det fanns en minimistorlek för fisken i havet.”

Vi väljer vilken typ av matematik som ska användas. Matematik fungerar inte alltid. När vi upptäckte att skalärer inte fungerade för krafter, uppfann vi en ny matematik, vektorer. Och när vi går längre har vi uppfunnit tensorer. I en bok jag nyligen har skrivit [10. R. W. Hamming, Coding and Information Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1980.] används konventionella heltal för etiketter, och reella tal används för sannolikheter; men annars har all aritmetik och algebra som förekommer i boken, och det finns mycket av båda, regeln att 1+1=0.

Så min andra förklaring är att vi väljer matematik för att passa situationen, och det är helt enkelt inte sant att samma matematik fungerar överallt.

Vetenskapen svarar faktiskt på jämförelsevis få problem. Vi har illusionen att vetenskapen har svar på de flesta av våra frågor, men så är det inte. Från de tidigaste tiderna måste människan ha funderat över vad Sanning, Skönhet och Rättvisa är. Men så långt jag kan se har vetenskapen inte bidragit med något till svaren, och det verkar inte heller som att vetenskapen kommer att göra mycket inom en snar framtid. Så länge vi använder en matematik där helheten är summan av delarna, kommer vi sannolikt inte att ha matematik som ett viktigt verktyg för att undersöka dessa berömda tre frågor.

Faktum är att, för att generalisera, nästan alla våra erfarenheter i denna värld inte faller under domänen vetenskap eller matematik. Vidare vet vi (åtminstone tror vi att vi gör det) att det från Godels sats finns bestämda gränser för vad ren logisk manipulation av symboler kan göra, det finns gränser för matematikens domän. Det har varit en troshandling från forskarnas sida att världen kan förklaras i de enkla termer som matematiken hanterar. När man tänker på hur mycket vetenskapen inte har svarat så ser man att våra framgångar inte är så imponerande som de annars skulle kunna se ut.

Människans utveckling gav modellen. Jag har redan berört frågan om människans utveckling. Jag anmärkte att i de tidigaste livsformerna måste det ha funnits frön till vår nuvarande förmåga att skapa och följa långa kedjor av nära resonemang. Vissa människor [11. H. Mohr, Structure and Significance of Science, Springer-Verlag, 1977.] har vidare hävdat att darwinistisk evolution naturligt skulle välja ut de konkurrerande livsformer för överlevnad som hade de bästa modellerna av verkligheten i sina sinnen – ”bäst” som betyder bäst för överleva och föröka sig.

Det råder ingen tvekan om att det finns en viss sanning i detta. Vi upptäcker till exempel att vi kan klara av att tänka på världen när den är av jämförbar storlek med oss själva och våra obearbetade sinnen, men att när vi går till det mycket lilla eller det mycket stora har vårt tänkande stora problem. Vi verkar inte kunna tänka på lämpligt sätt om ytterligheterna bortom normal storlek.

Precis som det finns lukter som hundar kan lukta och vi inte kan, liksom ljud som hundar kan höra och vi inte kan, så finns det våglängder av ljus som vi inte kan se och smaker vi inte kan smaka.

Varför förvånar då kommentaren;

”Kanske finns det tankar vi inte kan tänka”

…med tanke på att våra hjärnor är kopplade som de är? Evolutionen, hittills, kan möjligen ha blockerat oss från att kunna tänka i vissa riktningar; det kan finnas otänkbara tankar.

Om du minns att den moderna vetenskapen bara är cirka 400 år gammal, och att det har funnits från 3 till 5 generationer per århundrade, så har det funnits som mest 20 generationer sedan Newton och Galileo. Om du väljer 4 000 år för vetenskapens ålder, i allmänhet, får du en övre gräns på 200 generationer. Med tanke på effekterna av evolution vi letar efter via urval av små chansvariationer, förefaller det mig inte som att evolution kan förklara mer än en liten del av matematikens orimliga effektivitet.

Slutsats

Av allt detta tvingas jag dra slutsatsen både att matematik är orimligt effektivt och att alla förklaringar jag har gett när jag lagts samman helt enkelt inte räcker för att förklara vad jag tänkte redogöra för. Jag tror att vi – främst menar du – måste fortsätta att försöka förklara varför den logiska sidan av vetenskap – huvudsakligen betyder matematik – är det rätta verktyget för att utforska universum som vi uppfattar det för närvarande. Jag misstänker att mina förklaringar knappast är lika bra som de från de tidiga grekerna, som för den materiella sidan av frågan sa att universums natur är jord, eld, vatten och luft. Den logiska sidan av universums natur kräver ytterligare utforskning.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.

Genom att fortsätta använda denna webbplats godkänner du användandet av cookies. mer information

Dina cookie-inställningar för denna webbplats är satt till ”tillåt cookies” för att ge dig den bästa upplevelsen. Om du fortsätter använda webbplatsen utan att ändra dina inställningar för cookies eller om du klickar ”Godkänn” nedan så samtycker du till detta.

Stäng